Cateti, triangoli, quadrati, ipotenusa: come dimostrare il teorema di Pitagora?

Dimostrazione pratica con i chicchi di riso

Nell’insegnamento della geometria piana euclidea il teorema di Pitagora svolge un ruolo centrale perché non solo stabilisce una proprietà universale di cui godono tutti i triangoli rettangoli, ma anche perché rappresenta uno strumento potente di applicazione all’interno della stessa matematica o in altri ambiti scientifici come la fisica e l’astronomia. Pitagora segna il momento di passaggio dalla matematica applicata alla matematica astratta, con l’introduzione di dimostrazioni fondate sul metodo deduttivo a partire da assiomi esplicitamente formulati. Bertrand Russell afferma che “Dal punto di vista intellettuale, Pitagora è uno degli uomini più notevoli che siano mai esistiti, sia per la sua sapienza sia per altri aspetti. La matematica, intendendo come tale le dimostrazioni e i ragionamenti deduttivi, comincia con Pitagora. Non conosco altro uomo che abbia avuto altrettanta influenza nella sfera del pensiero”.

Il teorema di Pitagora era noto un tempo come “il ponte degli asini”, il ponte che riusciva a superare soltanto chi dimostrava di possedere sufficienti attitudini per il pensiero astratto e per un metodo deduttivo da applicare a procedimenti matematici quali erano quelli proposti dai pitagorici. Ecco come Einstein ricorda il suo primo incontro con il teorema: “Avevo 12 anni quando un mio vecchio zio mi enunciò il teorema di Pitagora e dopo molti sforzi riuscii a dimostrarlo. È stata un’esperienza meravigliosa scoprire come l’uomo sia in grado di raggiungere un tale livello di certezza e di chiarezza nel puro pensiero. E sono stati i Greci per primi ad indicarcene la possibilità, con la geometria”

Si racconta, ma è leggenda, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli uguali. Inoltre l’area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell’area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all’area di una piastrella. In realtà la storia del teorema è molto più complessa e le sue origini, come abbiamo già detto, risalgono almeno ad un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. In altre parole “in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti”. In realtà la storia del teorema è molto più complessa e le sue origini risalgono almeno a un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli.

Nel corso dei secoli sono state proposte diverse centinaia di dimostrazioni del celebre teorema, con molte varianti, e il loro numero continua a crescere grazie a quelle che ancora oggi sono scoperte da matematici professionisti o dilettanti, sempre affascinati da questo teorema. E allora ci chiediamo “Come possiamo noi dimostrare il teorema di Pitagora?”

La classe 2A ha pensato di costruire un triangolo rettangolo e su ciascun lato di esso un quadrato avente per base quel lato. Mettendo del riso a riempire i quadrati costruiti sui cateti si può notare che, ruotando il sistema, tutto il riso contenuto in questi due quadrati va a riempire completamente quello costruito sull’ipotenusa. Questo è un modo semplice ma soprattutto molto pratico che permette di capire meglio e di visualizzare il teorema di Pitagora.